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モンティホールジレンマ

なんか以前だんげさんのサイトをチェックしてたら、
モンティホールジレンマの話が紹介されてました。
このFLASHは問題の言わんとしているところや、
また実験結果が直感と変わってくる部分など、
随所で分かりやすい工夫がなされている優れたFLASHなのですが、
「なぜドアを変えると当選率が上がるのか」という説明部分は、
厳密に言うと間違っています。

じゃぁ正しい説明とはどのようなものなのか、と聞かれると思うのですけど、
俺はその質問に対して有効な回答を持ち合わせてません。
正確に言うと、数式などで「正しい」答えを導くことはできますが、
それを直感的に、わかりやすい文章で説明することができないのです。
まだまだ未熟で申し訳ありませぬ('A`)


でもま、このモンティホールジレンマには、
より面白い「現象」が隠されているので、
その現象だけでもご紹介させていただこうかな、と。


つーことで、俺がここで紹介する問題とは、「3囚人問題」
3囚人問題とはどういうものなのか、以下にご紹介。


3人の囚人A, B, Cがいる。1人が恩赦になって釈放され、残り2人が処刑されることがわかっている。だれが恩赦になるか知っている看守に対し、Aが「BとCのうち少なくとも1人処刑されるのは確実なのだから、2人のうち処刑される1人の名前を教えてくれても私についての情報を与えることにはならないだろう。1人を教えてくれないか」と頼んだ。看守はAの言い分に納得して「Bは処刑される」と答えた。それを聞いたAは「これで釈放されるのは自分とCだけになったので、自分の助かる確率は1/3から1/2に増えた」と喜んだという。実際には、この答えを聞いたあと、Aの釈放される確率はいくらになるか。



まぁ本質的にはモンティホールジレンマと変わりませんよね。
問題の文章が変わっただけで。


ここでAの生き残る確率を考える前に、
まずはベイズの定理という、
確率論で必ず出てくる定理を説明しなければなりません。

まず、Aが生き残る確率をP(A)で表し、
Bが生き残る確率をP(B)、
Cが生き残る確率をP(C)で表しましょう。
また、看守に「Bは死ぬよ」と言われてしまう確率を、P(b)で表します。

この状態で、
『「Bは死ぬよ」と言われた後の、Aが生き残る確率』
を知りたいわけですね。

ここで、
「『Bが死ぬよ』と言われると仮定した上で、Aが生き残る確率」
というものをP(A|b)で表すことにします。

そして、
「『Bが死ぬよ』と言われ、かつ、Aが生き残る確率」
を、P(A,b)で表すことにします。


頭がこんがらがってきましたか?
おそらくP(A|b)とP(A,b)の違いが何なのかわからない、
という方が多いことと思います。

まぁ簡単に言ってしまえば、P(A|b)とP(A,b)の違いは『時点』の違いです。


P(A,b)とは、
「看守に『誰が死ぬ』と言われるか、まだわからない。
 もちろん、誰が生き残るかもわからない」
という状態において、
「『Bが死ぬよ』と言われ、かつ、Aが生き残る確率」
を表すわけです。

対してP(A|b)とは、
「もう既に、看守に『Bが死ぬ』と言われた後に、Aが生き残る確率」
を表します。


ではこの両者の間には、どのような関係があるのでしょうか?

P(A,b)もP(A|b)も、時点こそ違えど
「Aが生き残る確率」
を表していることはご理解いただけたかと思います。
したがって両者の違いは
「『Bが死ぬよ』と言われたか、まだ言われていないか」
という点にあるわけです。


したがってP(A,b)とP(A|b)の間には、以下の関係が成立します。

P(A,b)=P(A|b)P(b)

そしてこれは前後を入れ替えても成立しますので、

P(A,b)=P(b|A)P(A)

よって、上の両式を繋ぎ合わせれば、

P(A|b)P(b)=P(b|A)P(A)

が得られます。これがベイズの定理です。

さて、今我々が知りたいのはまさにP(A|b)そのものなので、
上の等式を変形させて


P(A|b)=P(b|A)P(A)/P(b)


と表し、これを解くことでP(A|b)を求めましょう。

まずP(b|A)は、
「Aが生き残ると仮定した場合、『Bが死ぬよ』と言われる確率」
なので、これは1/2です。

続いてP(A)はそのまま、
「Aが生き残る確率」
なので、1/3です。

そしてP(b)ですが、これは
「『Bが死ぬよ』と言われる確率」
です。これは、「誰が実際に死ぬか」によって
「Bが死ぬ」と言われるか否かが決まるため、
「『Bが死ぬよ』と言われる確率」
は、
「Aが生き残り、かつ、『Bが死ぬ』と言われる確率」
と、
「Bが生き残り、かつ、『Bが死ぬ』と言われる確率」
と、
「Cが生き残り、かつ、『Bが死ぬ』と言われる確率」
を全て足し合わせることで求められます。


まず
「Aが生き残り、かつ、『Bが死ぬ』と言われる確率」
ですが、Aが生き残るならばBとCが死ぬため、
P(A)×1/2=1/6ですね。

続いて
「Bが生き残り、かつ、『Bが死ぬ』と言われる確率」
ですが、Bが生き残るのであれば『Bが死ぬ』など言われるわけがないので、
この確率は0です。

そして
「Cが生き残ると仮定した上で、『Bが死ぬ』と言われる確率」
ですが、看守は「BかC、どちらかの名前しか言えない」という縛りがあるため、
Cが生き残るのであれば、看守は『Bが死ぬ』と言わざるを得ません。
したがってP(C)×1=1/3です。


したがってP(b)は、

P(b)=1/6+0+1/3=1/2

となります。
これでP(A|b)を求める道具が揃いました。
P(A|b)の値は、


P(A|b)=P(b|A)P(A)/P(b)
=1/2*1/3/(1/2)
=1/3


つまり、
看守から『Bが死ぬ』と聞かされても、
Aの生き残る確率1/3に変化は無く、
Cの生き残る確率が2/3に跳ね上がる

ということなのです。

ここまではモンティホールジレンマと同じ結果ですね。

さて、
ここからが
3囚人問題の
本当に面白いところです


ここまで読み飛ばした人も、ぜひここから読んでください。


先ほどまではAが生き残る確率も、
Bが生き残る確率も、
Cが生き残る確率も、
全て同じ1/3だと仮定しました。


ではここで、
Aが生き残る確率を1/4に、
Bが生き残る確率を1/4に、
Cが生き残る確率を1/2
仮定して、もう一度同じように考えてみましょう。


P(A|b)=P(b|A)P(A)/P(b)

まず、P(b|A)は変わらず1/2
続いてP(A)は、仮定した通り1/4

そしてP(b)ですが、
P(b)=1/4*1/2+1/4*0+1/2*1=1/8+1/2=5/8
です。


したがって、
P(A|b)=P(b|A)P(A)/P(b)
=(1/2*1/4)/(5/8)
=1/5


つまり、Aは『Bが死ぬ』と看守から聞いてしまうことによって、
自分の生存確率が1/4から1/5に下がってしまうのです。

直感的には、
「3人から2人に減るのだから、生存確率は増えそう」
と思えるのに、実際には話を聞いてしまうことで
自分の生存確率が下がってしまう
のですね。

まぁ俺はこの話を聞いて非常に面白いと感じたのですけど、
皆様はどう感じられましたかね?
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tag : 数学

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