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環と図形に想いをはせる「14日間でわかる代数幾何学事始」

14日間でわかる代数幾何学事始14日間でわかる代数幾何学事始
(2011/09/16)
海老原 円

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久しぶりに代数幾何学の勉強をしてる。
位相幾何学もろくに勉強してないのに代数幾何学とはいっきに飛びすぎかなぁとは思ったが、
そこは読んでる本が素晴らしいせいか、今のところ躓いたりせずに順調に読み進められてる。

それにしても位相空間の例としてハウスドルフ空間だけでなく、ザリスキー位相も紹介してくれたのは嬉しかった。
ハウスドルフ空間とは、任意の2点x,yについて、それぞれを含む近傍のなかでX∩Y=0となるような近傍X,Yが存在する、というのが定義。
しかしこれは、自分たちが暮らしている世界の中では一見すれば当たり前のことで、
すべての位相空間はハウスドルフ空間なのではないか、と誤解してしまうことが多い。
ていうか、自分もまさに学生時代にそう考えてた。

しかし、ハウスドルフ空間ではない位相空間、つまり2点x,yについて、それぞれを含む近傍の中で必ず共通部分を持ってしまう位相空間が存在して、そのひとつがザリスキー位相である、という紹介は本当の本当にためになった。

しかもザリスキー位相はそれほど難しい定義ではなくて、
アフィン空間A(n,k)の代数的集合を閉集合とみたてたときのアフィン空間そのものを
ザリスキー位相として定義してるだけなのだ。
直感的で、非常にわかりやすい位相空間のひとつじゃないか、と勝手に僕は思ってる。

こんな身近なところにハウスドルフ空間とは違う位相空間が存在することが意外だったし、
そのことに気づけなかった自分を恥じ入るばかりでもある。
それでもこの本が与えてくれた光明は、
学生時代のモヤモヤとした数学上の疑問にひとつの回答を与えてくれたこともまた事実。

たまたま図書館で手に取った本だったのだけど、これは非常に素晴らしい本だった。
もし位相幾何学とか代数幾何学に興味があるけど深く勉強できていない、という人は
ぜひこの本を手にとってみると良いと思う。
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